线性微分方程怎么判断（一阶线性微分方程）

一、一阶线性齐次微分方程

方程 dy/dx+P(X)y=Q(x) 叫做一阶线性微分方程。如果Q(x)=0,则上述方程称为一阶线性齐次方程，否则方程称为一阶线性非齐次方程。

特点：y,y'都是一次项，不含y·y'

例1：

（1）（x-2）dy/dx=y→dy/dx-y/(x-2)=0 是线性齐次方程；

（2）x^2+5x-y'=0→y'=x^2+5x 是线性非齐次方程；

（3）y'+ycosx=e^(-sinx) 是非齐次线性方程；

（4）（y+1）^2 dy/dx+x^3=0→dy/dx-x^3/(y+1)^2=0 不是线性方程。

例2：

求方程y'-2/x+1.y=0的通解

解: 其对应的一节线性齐次方程为y'-2/x+1.y=0

分离变量，得 1/y.dy=2/(x+1) dx

积分，得 ∫1/y dy=∫2/(x+1)+ln|C|

ln|y|=2ln|x+1|+ln|C|

y=C(x+1)^2

例3:

求方程y'+p(x)y=0的通解。

二、常数变易法

将一阶线性齐次方程通解的常数C换成x的未知函数u（x），把y=u(x)e^-∫P（x）dx当成一阶线性非齐次微分方程的通解。代入y'+P(x)y=Q(x)得

u'(x)e^-∫P(x)dx-u(x)e^-∫P(x)dx P(x)+P(x)u(x)e^-∫P(x)dx=Q(x)

化简得

u'(x)=Q(x)e^Q（x）e^∫P(x)dx=Q（x）

u(x)=Q(x)e^∫P(x)dx+C

一阶线性非齐次方程的通解公式为：

y=e^-∫P(x)dx[∫Q(x)e^∫P(x)dx+C]

或y=Ce^-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx∫Q(x)e^∫P(x)dx dx.

一阶线性非齐次方程的通解等于对应的一阶线性齐次方程通解与一阶线性非齐次方程的一个特解之和。这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。

例3：

解法一 P(x)=-1/x,Q(x)=x^3.

y=e^∫P(x)dx(∫e^∫P(x)Q(x)dx+c)

y=e^-∫（-1/x）dx(∫e^∫(-1/X)dx x^3dx+c)

=x(∫x^2dx+c)

=x(1/3 x^3+c）

解法二 该方程对应的齐次方程为

y'-1/x.y=0

分离变量，得1/y.dy=1/x.dx

积分，得 ∫1/y.dy=∫1/x.dx

ln|y|=ln|x|+ln|C|

y=Cx

利用常数变易法，设原方程的通解为y=u（x）x

求导得 y'=u'(x)x+u(x)

代入原方程，得u'(x)x+u(x)-u(x)=x^3

积分，得u（x）=1/3.x^3+C1

原方程通解为

y=(1/3.x63+C1)x=x^4+C1x.

例4

注意：

形如dx/dy+P(y)x=Q(x)的方程，仍然是一阶线性微分方程，把y看成是自变量，x看成y的函数，同样利用常数变易法，可得此方程通解为

x=e^-∫P(y)dy(∫Q(x)e^∫P(y)dy +C)

例5：

求微分方程xdy-ydx=y^2.e^y.dy的通解

解： 将方程改写dx/dy-1/y.x=-ye^y

代入通解公式，得

x=e^-∫-1/y.dy (∫-ye^y.dy+C)

x=y(-e^y+C)